Пастухов Ю.Ф., доцент, к.ф.-м.н.,
Пастухов Д.Ф., доцент, к.ф.-м.н.
( Витебская ордена «Знак Почета» государственная академия ветеринарной медицины)
В данной работе рассматривается задача максимального ослабления γ-излучения и n-излучения в зависимости от стоимости 1м2 стенки и ее максимальной толщины симплекс-методом. На основе решения получена формула коэффициента ослабления вышеуказанных излучений, приводятся толщины строительных материалов стенки в зависимости от стоимости 1 м2. Формулы устойчивы к изменению рыночных цен стройматериалов.
Ключевые слова: симплекс-метод, коэффициент ослабления радиации, зависимости толщины слоев материалов от стоимости 1м2 стенки.
Среди всех видов излучений наибольшей проникающей способностью обладают γ-излучение и n-излучение[1]. Одним из основных принципов нормативного документа НРБ-2000 является принцип оптимальности. Он требует максимальной защиты населения, животных и окружающей среды от проникающей радиации при строительстве зданий с учетом экономических факторов. При строительстве жилых зданий и животноводческих ферм такими экономическими факторами являются стоимость 1м2 стенки (обозначим ее как C) и максимальная толщина стенки x0. Толщина стенки x0 обычно не более 100 cм.
Постановка задачи
Распространенными строительными материалами являются, например, кирпич, дерево (сосна), бетон. Коэффициент ослабления стенкой, состоящей из трех слоев в любой последовательности друг за другом, задается формулой: 
где: X1, X2, X3 - толщины слоев из кирпича, сосны и бетона соответственно в см.
Очевидно, что 
— толщины слоев половинного ослабления нейтронов для кирпича, бетона и сосны в сантиметрах[3]. Кроме того, 
.
Стоимость 1м2 стенки равна 
.
C1 = 180, C2 = 590, C3 = 660 тыс. белорусских рублей – стоимости 1м3 кирпича, сосны и бетона на сентябрь 2009 г. Получаем задачу на экстремум:
Задача (2) равносильна задаче линейного программирования(3):
В задаче(3) функционал, ограничения в виде равенств и неравенств линейны, то есть мы имеем задачу линейного программирования, решаемую симплекс-методом.
Описание программы
Программа написана на языке Fortran(Compaq Visual Fortran Professional Edition 6.6.0). Подпрограмма Dlprs решает задачу линейного программирования[2]: min(CT x), x ∈ Rn
С ограничениями bl ≤ Ax ≤ bu, xlb ≤ x ≤ xub
Для решений системы уравнений (3) используем библиотечку imsl с вызовом use imsl. call Ddlprs (m,nvar,a,Lda,b,b,c,irtipe,xlb,xub,obj,xsol,dsol) - вызов подпрограммы. m – число ограничений; nvar – число переменных; a – массив формы (Lda,nvar) с матрицей m*nvar ;Lda ≥ m; bl –вектор размера m, содержащий нижние границы ограничений общего вида; bu – содержит верхние границы вектора ограничений общего вида; c - вектор размера nvar, содержащий коэффициенты целевой функции; irtipe - вектор размера m, указывающий тип ограничений; xlb и xub левые и правые ограничения значений переменных; obj - значение целевой функции; xsol - вектор решений размера nvar; dsol- вектор решений двойственной задачи линейного программирования. Для увеличения сходимости программа написана с двойной точностью Ddlprs.
В задаче с нейтронами nvar = 3, m = 2, a = {1.8,1.0,5.9,1.0,6.6,1.0}, irtipe = {0,1}, c = {1/10,1/9.7,1/12}, xlb = {0.0*3}, xub = {1.0d30*3}, b = {C,100} все целочисленные и действительные переменные имеют точность INTEGER(8), REAL(8) соответственно. C меняется от 0 до C3 = 660тыс.р., а задача (3) решается по циклу 145 раз. Решим задачу (3) для частного случая x0 = 100 см, затем обобщим для любого x0.
Анализ решений
В случае облучения нейтронами решение задачи (3) симплекс-методом представлено на рис.1-рис.3. В зависимости от стоимости 1м2 стенки ось C разбивается на три области:
1)0 ≤ C ≤ C1 = 180тыс. р. На рис.1-рис.3 видим, что стена состоит из кирпича толщиной 
. Коэффициент ослабления получим из формулы (1):
Рис.1 Зависимость толщины кирпичного слоя от стоимости С при n облучении
Рис.2 Зависимость толщины слоя сосны от стоимости С при n облучении
Рис.3 Зависимость толщины слоя бетона от стоимости С при n облучении
2) C1 ≤ C ≤ C2 = 590тыс.р. На рис.1-рис.3 видим, что стена состоит из сосны толщиной X2 = 100*(C-C1)/(C2-C1) и кирпича толщиной X1 = 100-X2 = 100*(C2-C)/(C2-C1). Коэффициент ослабления получим из формулы (1):
3) C2 ≤ C ≤ C3 = 660тыс.р. На рис.1-рис.3 видим, что стена состоит из бетона толщиной X3 = 100*(C-C2)/(C3-C2) и сосны толщиной X2 = 100-X3 = 100*(C3-C)/(C3-C2). Коэффициент ослабления получим из формулы (1):
Случай облучения γ - квантами требует в системе уравнений (3) подставить вектор 
так как ∆1 = 15 sm, ∆2 = 33 sm, ∆3 = 10 sm - толщины слоев половинного ослабления γ - квантов для кирпича, бетона и сосны в сантиметрах[3]. Решение задачи(3) с данным целевым вектором c представлено на рис.4-рис.5. В зависимости от стоимости 1м2 стенки ось C разбивается на две области:
1)0 ≤ C ≤ C1 = 180тыс. р. На рис.1-рис.3 видим, что стена состоит из кирпича толщиной 
.
Коэффициент ослабления получим из формулы (1):
2) C1 ≤ C ≤ C3 = 660тыс.р. На рис.1-рис.3 видим, что стена состоит из бетона толщиной X3 = 100*(C-C1)/(C3-C1) и кирпича толщиной X1 = 100-X3 = 100*(C3-C)/(C3-C1). Коэффициент ослабления получим из формулы (1):
В данной задаче, ни при каких значениях стоимости C нет сосны как строительного компонента в стене. Следует отметить, что при малых значениях стоимости C ≤ C1 выгодно использовать только кирпич при радиационной защите с коэффициентом ослабления 
Перейдем к задаче при x0 100 см. Обозначим 
Оказывается, (проверено численными методами для всех 5 графиков) что профиль графиков не изменяется, если одновременно заменить C1,C2,C3 на C1∗h,C2∗h,C3∗h. А 100 см заменить на x0= h∗100см во всех формулах и условиях. При этом X1,X2,X3,C, ∆1,∆2,∆3 в формулах и условиях остаются без изменений.
Рис.4 Зависимость толщины кирпичного слоя от стоимости С при γ- облучении
Рис.5 Зависимость толщины слоя бетона от стоимости С при γ- облучении
Тогда программа действий такова. Вычисляем 
Для нейтронов. Если:
В случае гамма излучения:
При C C1 K уменьшается экспоненциально при линейном росте C. При C ≥ C1 нужно применять два и более материала, при этом толщина стенки равна x0 . В области C ≥ C1 K фактически меняется почти линейно при линейном росте C. То есть выгодно применять кладку из одного материала.
Результаты:
1)В работе рассмотрена зависимость коэффициента ослабления K от стоимости 1м2 стенки C и ее максимальной толщины x0.
2)Показано, что зависимости толщин слоев строительных материалов X1 (C), X2 (C), X3 (C) от стоимости 1м2 стенки C представляют кусочно-линейные функции.
3)Предложены формулы (4)-(6) и (4') - (6') коэффициента ослабления нейтронов и формулы (7),(8) ,(7^'), (8') ослабления γ - радиации при различной стоимости 1м2 стенки C. Формулы получены на основе решений задачи(3) симплекс-методом.
4)Решения задачи (3) и все формулы (4)-(8), (4') - (8') структурно - устойчивы к небольшим изменениям C1,C2,C3,∆1,∆2,∆3 . Таким образом, они не зависят от изменения рыночных цен C1,C2,C3 стройматериалов.
Литература
1.Сивухин Д.В. "Атомная и ядерная физика". В 2-х ч. Ч.2.Ядерная физика. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.1989.-416с. - (Общий курс физики; Т.5).
2.Бартеньев О.В. "Математическая библиотечка IMSL". :(Ч.3).- М.: Диалог-МИФИ,2001.-368 с.
3.Ковчур С.Г.и др. "Радиационная безопасность". - Витебск: УО ”ВГТУ”,2006.-175 с.