Родился 28 января 1967 года в г. Горьком.
В 1991 году окончил Нижегородский политехнический институт по специальности «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты».
С 1993 по 2004 годы работал в ОАО «ГАЗ», затем – в «Опытно-конструкторском бюро ЭХЗ» ФГУП «ПО Электрохимический завод», г. Нижний Новгород, далее продолжил свою деятельность в ЗАО «ОКБ-Нижний Новгород».
В 2014 году был принят в ПАО "Ковровский механический завод" на должность руководителя проекта.
С 2015 года Анатолий Гавриков координировал в ПАО «КМЗ» реализацию инвестиционного проекта «Новый завод по производству газовых центрифуг», который был успешно завершён в 2019 году, обеспечив значительное повышение эффективности производства выпускаемой продукции. Он также участвовал в подготовке и запуске в серийное производство газовой центрифуги девятого поколения и модернизированной газовой центрифуги ГЦ-9+; проводил работы по подбору и замене материалов, применяемых в конструкции новой центрифуги.
С октября 2019 - генеральный директор ПАО «КМЗ».
С августа 2021 - генеральный директор АО «ВПО «Точмаш».