В 1973 году окончил санитарно-гигиенический факультет Донецкого государственного медицинского института по специальности «санитарный врач».
С 1973 по 1987 годы работал в системе министерства путей сообщения СССР, сначала врачом-эпидемиологом, затем на руководящих постах разных уровней. В 1982 году стал главным санитарным врачом Московского метрополитена, в 1983 — начальником центральной санэпидстанции МПС СССР.
Онищенко участвовал в ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС, во время Первой чеченской войны был похищен боевиками.
В июне 2009 года Эдуард Кокойты вручил Геннадию Онищенко паспорт гражданина Южной Осетии и награду республики — Орден Почёта.
С 11 января 1993 года — заместитель председателя Государственного комитета санитарно-эпидемиологического надзора — заместитель Главного государственного санитарного врача Российской Федерации.
С 1 июня 1996 года — исполняющий обязанности председателя Государственного комитета санитарно-эпидемиологического надзора Российской Федерации.
С 25 октября 1996 года — первый заместитель Министра здравоохранения Российской Федерации — главный государственный санитарный врач Российской Федерации.
Получил известность в 2000 году, когда потребовал усилить госконтроль за производством и рекламой пива. В 2003 году много высказывался в СМИ по поводу угрозы пандемии атипичной пневмонии, начиная с 2004 года активно привлекал внимание общественности к опасности, связанной с пандемией птичьего гриппа.
С 12 марта 2004 года — руководитель Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека (Роспотребнадзор).