Родился 7 июля 1936 года в городе Тобольске.
Окончил тобольскую среднюю школу № 13 с золотой медалью.
В 1959 году окончил Уральский государственный университет им. А. М. Горького (УрГУ) по специальности «механика». С 1961 по 1969 годы был аспирантом, ассистентом, доцентом УрГУ.
С 1969 года по 1993 год работал в Институте математики и механики Уральского отделения АН СССР, заведующий лабораторией, заведующий отделом дифференциальных уравнений (1972—1993), директор ИММ УрО РАН (1986—1993). Принадлежит к известной математической школе по теории управления академика Н. Н. Красовского.
Кандидат физико-математических наук (1965), доктор физико-математических наук (1971). Профессор (1975). Член-корреспондент АН СССР с 26 декабря 1984 года — отделение механики и процессов управления (процессы управления), академик АН СССР с 23 декабря 1987 — отделение проблем машиностроения, механики и процессов управления (механика и процессы управления). Член отделения математических наук РАН.
С 1993 года по 2004 год руководил Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН. C 1989 года работает в МГУ, профессор МГУ, с 1992 года заведующий кафедрой оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Президент Российской академии наук с 17 декабря 1991 года. Переизбирался на пост главы РАН в 1996, 2001, 2006 и 2008 годах.
С 1992 председатель Комиссии по государственным премиям Российской Федерации в области науки и техники. В 1992 году стал председателем межведомственной экспертной комиссии по космосу. Член Совета безопасности Российской Федерации.
С 2010 года - член попечительского совета Фонда «Сколково».
Специалист в области прикладной математики и механики. Основные научные исследования посвящены теории управления, дифференциальным уравнениям и их приложениям.