Александр Викторович Бычков родился 1 декабря 1958 года в городе Златоусте Челябинской области.
С 1962 года проживает в городе Димитровграде Ульяновской области. В 1976 году окончил школу № 25 г. Димитровграда. В 1982 году окончил химический факультет Московского государственного университета. С 1982 по 1992 год работает в Химико-технологическом отделении (ХТО) НИИАРа в должностях: сменного инженера-технолога, младшего научного сотрудника, научного сотрудника лаборатории топлива. С 1992 года - начальник лаборатории топлива. С 1997 года - начальник отдела топливного цикла ХТО. С 2000 года - директор Химико-технологического отделения института. С 2005 года – заместитель генерального директора ФГУП «ГНЦ РФ НИИАР» по научной работе в области топливного цикла. 1 марта 2006 года Приказом (№ 111к) руководителя Федерального агентства по атомной энергии С.В. Кириенко назначен исполняющим обязанности генерального директора ФГУП «ГНЦ РФ НИИАР», 17 июля 2006 года Приказом (№ 555к) - руководителем института.
С января 2010 года по 1 февраля 2015 года - заместитель генерального директора МАГАТЭ
С 2015 года - советник генерального директора ГК "Росатом"
Кандидат технических наук. Награжден медалью «За заслуги перед Отечеством» II степени, ведомственными знаками отличия «Академик И.В. Курчатов» II степени и «Ветеран атомной энергетики и промышленности».